几种特殊的行列式计算

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本文最后更新于 2021-06-04,文中内容可能已过时。

有手就行 我没有手

举例咕咕咕有空补上

对换变号, 倍加不变, 行(列)可提公因式.

若化为上(下)三角, 则行列式的值为主对角线之积.

所以做法是变换成上(下)三角.

以上三角为例

形如:

(形如失败, 好难排版啊qaq)

假想每一行只能和相邻的交换, 换成主对角的话相当于行逆序, 需要 $\frac{n(n-1)}{2}$ 次. 每一次交换都要变号, 所以

$$D_n = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \Pi a_{i,(n-i+1)}$$

形如

$$\left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & 0 & \dots & 0 \\ a_{31} & 0 & a_{33} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & 0 & 0 & \dots & a_{nn} \\ \end{array} \right|$$

即, 除主对角线, 第一行, 第一列外, 其他元素均为$0$.

做如下变换: $c_1 -= \frac{a_{i1}}{a_{ii}} c_i, 2 \le i \le n$, 把第一列除了$a_{11}$外都变成$0$. 而$a_{11} -= \sum_{i=2}^n \frac{a_{i1}}{a_{ii}} a_{1i}$

不需要记忆式子, 碰到题目直接用这个方法变换就行.

形如:

$$\left| \begin{array}{ccccc} a & b & & & \\ c & a & b & & \\ & c & a & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & b \\ & & & c & a \\ \end{array} \right|$$

即, 主对角相同, 主对角相邻两斜线各相同, 其他元素均为$0$

递推法, 按第一行展开, 有:

$$D_n = aD_{n-1} - b \left| \begin{array}{ccccc} c & b & & & \\ & a & b & & \\ & c & a & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & b \\ & & & c & a \\ \end{array} \right| = aD_{n-1} - bcD_{n-2}$$

特别地, 若$c = b$, 有$D_n = aD_{n-1} - b^2D_{n-2}$

以行和相等为例.

$c_1 = \sum c_i$, 得到相等的第一列, 然后 $r_i -= r_1$ 得到第一列只有第一个数, 其他数为$0$, 然后降解. 一般来说, 题目会"有规律地相等", 降解后会有很多一样的数字或$0$.

以列为例

形如:

$$\left| \begin{array}{ccccc} x_1 & a_2 & a_3 & \dots & a_n \\ a_1 & x_2 & a_3 & \dots & a_n \\ a_1 & a_2 & x_3 & \dots & a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & a_3 & \dots & x_n \\ \end{array} \right|$$

即, 各列除主对角位置相同.

化为爪型, $r_i -= r_1, 2 \le i \le n$

之后还可以对各列提公因式把第一列除第一个数变成$-1$, 把主对角线除第一个数变成$1$, 简化计算(不这样做也行, 结果相同, 其实也并不难算)

特别地, 当 $a_i = a$ 时, 也可以这样做, 或者可以用行(列)和相等.