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常微分方程求解总结

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总结一下微分方程的解法

可分离变量的微分方程是指可化为$g(y)dy=f(x)dx$形式的微分方程, 两边同时积分便可以求得结果.

但是在化简的过程中, 经常用到除法, 而被除数又不能为$0$, 所以这里化简完以后会带一个$\ne 0$的条件, 最后需要讨论$= 0$的情况.

求微分方程$\frac{dy}{dx} = 2xy$的通解

分离变量, 得 $$\frac{dy}{y} = 2xdx\ \ (y \ne 0)$$ 两边积分, 得 $$\ln |y| = x^2 + C_1\ \ (y \ne 0)$$

但此时这个解没有把$y = 0$的情况包含进去, 所以我们对两边$exp$作用, 得 $$y = \pm e^{x^2 + C_1} = \pm e^{C_1}e^{x^2}\ \ (y \ne 0, C_1 \text{是任意常数})$$ 此时$e^{x^2}$的系数$C = \pm e^{C_1}$是任意非$0$常数.

再看$y = 0$时, 要使得方程成立, $C$取$0$即可, 所以, 微分方程的通解是 $y = Ce^{x^2}\ \ (C \text{是任意常数})$

在求解问题的时候, 要简单交代一下$y = 0$的情况即可, 不需要像上面一样分析得这么具体.

之后的方程中, 若不加说明, 则默认$C$是任意常数.

如果一阶微分方程可化为 $$\frac{dy}{dx} = \phi(\frac{y}{x})$$ 的形式, 那么称它为齐次方程

齐次方程的一个重要特征是, 每一项关于x, y的次数和是相等的.

齐次方程的解法也很简单, 只需要令$u = \frac{y}{x}$, 转化为$u-x$的微分方程即可. 具体过程如下:

$$u = \frac{y}{x} \Rightarrow y = ux$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{dux}{dx} = u’x + u = x\frac{du}{dx} + u$$ $$\therefore \frac{dy}{dx} = \phi(\frac{y}{x})$$ $$\Rightarrow x\frac{du}{dx} + u = \phi(u)$$ 分离变量: $$\Rightarrow \frac{du}{\phi(u) - u} = \frac{dx}{x}$$

同样地, 因为分离变量涉及到除法, 需要分类讨论.

但是这里不用讨论$x=0$, 即使原方程中$x$没有定义域限制, 我也不知道为什么…

求微分方程 $$y^2 + x^2\frac{dy}{dx} = xy\frac{dy}{dx}$$ 的通解.

第一步将方程化为 $$\frac{dy}{dx} = \phi(\frac{y}{x})$$ 的形式: $$\frac{dy}{dx} = \frac{(\frac{y}{x})^2} {\frac{y}{x} - 1}$$ 然后令$u = \frac{y}{x}$, 并将方程化为: $$(1 - \frac{1}{u})du = \frac{dx}{x}$$ $$\therefore \ln|ux| = u + C$$ $$\therefore \ln |y| = \frac{y}{x} + C$$

因为这里的$x \ne 0, 且xy-x^2 \ne 0 \Rightarrow y \ne x \ne 0$, 所以不需要讨论$y = 0$, 也就没必要exp一下.

形如 $$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)$$ 的微分方程称为一阶线性微分方程. 当$q(x) \equiv 0$时, 称为齐次线性方程; $q(x) \not \equiv 0$时, 称为非齐次线性方程, 而把$\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0$这样的方程称为它对应的齐次线性方程.

分离变量就行了, 得到 $$y = Ce^{-\int p(x)dx}\ \ (C = \pm e^{C_1})$$

我们把 $$e^{\int p(x)dx}$$ 称为积分因子. 积分因子不是固定的, 只是构造用的一个称呼.

记住这个积分因子

方程两边同时乘以积分因子$e^{\int p(x)dx}$, 得到 $$e^{\int p(x)dx}\frac{dy}{dx} + p(x)e^{\int p(x)dx}y = q(x)e^{\int p(x)dx}$$ 欸, 发现左边其实是 $$e^{\int p(x)dx}y’ + (e^{\int p(x)dx})’ y = (e^{\int p(x)dx}y)’$$ 那么我们对方程两边积分, 就得到 $$\int (e^{\int p(x)dx}y)’ dx = \int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C$$ $$\therefore e^{\int p(x)dx}y = \int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C$$ 然后同时除以$e^{\int p(x)dx}$, 就得到了 $$y = e^{-\int p(x)dx} (\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C)$$

在用计算的时候, 我们只需要背这个公式就行了. 忘了就用这个方法推一遍, 过程比书上那个常数易变有道理多了.

还需要特殊注意的是, $e^{\int p(x)dx}$只需要一个特解, 即不用加$C$(或者你加一个确定的数也可以, 为了方便就令$C = 0$了); 如果$\int p(x)dx$积出来是$\ln|\phi(x)|$, 那么这里的绝对值可以直接去掉(这是讨论出来的普适结果, 记住就行)

套公式还要例题???

比较简单, 先咕咕咕

n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是: $$y^{(n)} + p_1 y^{(n-1)} + p_2 y^{(n-2)} + \dots + p_{n-1} y’ + p_n y = 0$$ 其中$p_i$为常数.

把$y^{(i)}$用$r^i$代替, 就得到了特征方程: $$r^{n} + p_1 r^{n-1} + p_2 r^{n-2} + \dots + p_{n-1} r + p_n = 0$$ 这样会解得n个根$r_i$.

得到的特征方程的根, 对应的微分方程通解中的对应项有如下关系:

特征方程的根 微分方程通解中对应的项
k重实根r 给出k项: $e^{rx}(C_1 + C_2 x + \dots C_k x^{k-1})$
一对k重复根$r_{1, 2} = \alpha \pm \beta$ 给出2k项: $e^{\alpha x}[(C_1 + C_2 x + \dots C_k x^{k-1}) \cos \beta x + (D_1 + D_2 x + \dots D_k x^{k-1}) \sin \beta x]$

求方程$y^{(4)} - 2y’’’ + 5y’’ = 0$的通解.

特征方程为: $$r^4 - 2r^3 + 5r^2 = 0$$ $$r^2((r-1)^2 + 4) = 0$$ 特征根为$r_{1,2} = 0, r_{3,4} = 1 \pm 2i$

所以通解为 $$\begin{aligned} y &= (C_1 + C_2 x)e^{(0 \cdot x)} + e^{1 \cdot x}(C_3 \cos 2x + C_4 \sin 2x) \\ &= C_1 + C_2 x + e^x (C_3 \cos 2x + C_4 \sin 2x) \end{aligned}$$

下面的$P_m(x), R_m(x)$都表示$x$的$m$次多项式, $y^*(x)$表示特解

我们只需要求一个特解, 再根据结构定理加上齐次方程的通解就得到了非齐次方程的通解. 所以, 下面给出两种形式的方程的特解的求法.

$f(x) = e^{\lambda x}P_m(x)$

令 $$y^* = x^ke^{\lambda x}R_m(x)$$ 其中, $\lambda$是对应齐次方程的特征方程的$k$重根($k$可以为$0$, 即$\lambda$不是根)

然后把特解以及他的导数对应地代回方程, 比较系数, 求出$R_m(x)$就行了.

咕咕咕

$f(x) = e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x + Q_n(x)\sin \omega x]$

令 $$y^* = x^k e^{\lambda x} [R^{(1)}_m \cos \omega x + R^{(2)}_m \sin \omega x]$$ 其中$m = max{l, n}$, $\lambda + \omega i$是对应齐次方程的特征方程的$k$重根.

同上代回求系数即可.

咕咕咕

$n$阶线性微分方程$y^{n} + a_1(x) y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1} y’ + a_n y = f(x)$有两个特解$y_1(x), y_2(x)$, 那么$y^* = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$是方程的一个解(符合下面的结构定理的是通解, 其他的是特解).

$n$阶线性齐次微分方程$y^{n} + a_1(x) y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1} y’ + a_n y = 0$有$n$个线性无关的特解$y_1(x), y_2(x), \dots y_n(x)$, 那么它的通解为 $$y = \sum_{i = 1}^n C_i y_i(x)$$

有一种题型是根据上面两个性质或定理, 给出了多个特解(某些线性相关), 利用线性性质得到$n$个线性无关的特解, 然后根据结构定理求出通解

设$n$阶线性非齐次微分方程$y^{n} + a_1(x) y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1} y’ + a_n y = f(x)$的一个特解为$y^*(x)$, 它对应的齐次微分方程的通解为$Y(x)$, 那么这个方程的通解为

$$y = Y(x) + y^*(x)$$

如果$n$阶线性非齐次微分方程的右边是两个函数的和, 即

$$y^{n} + a_1(x) y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1} y’ + a_n y = f_1(x) + f_2(x)$$

而 $y^*_1(x)$和$y^*_2(x)$ 分别是

$$y^{n} + a_1(x) y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1} y’ + a_n y = f_1(x)$$ $$y^{n} + a_1(x) y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1} y’ + a_n y = f_2(x)$$

的特解, 则方程的一个特解为

$$y = y^*_1(x) + y^*_2(x)$$

这个定理经常用来求非齐次线性微分方程的特解

直接猜, 一般猜$e^x, x, \cos x, \sin x$等等

待整理, 咕咕咕

更新于 2020-12-30
 高数
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