等价无穷小使用注意事项
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求极限时经常用到等价无穷小, 但我常常用不对, 这里记录一下怎么用. 没有定义和证明的过程, 仅仅是结论
常见等价无穷小
以下等价都是在 $x \rightarrow 0$时的:
| $\sin x \sim x$ |
|---|
| $\tan x \sim x$ |
| $\arcsin x \sim x$ |
| $\arctan x \sim x$ |
| $\ln(1+x) \sim x$ |
| $\log_a (1+x) \sim \frac{x}{\ln a}$ |
| $e^{x}-1 \sim x$ |
| $a^{x}-1 \sim x \ln a$ |
| $1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}$ |
| $(1+x)^{a}-1 \sim ax$ |
| $a^{x}-1 \sim x\ln a$ |
使用条件
- 乘除可以大胆使用
- 加减不要使用
碰到加减怎么办?? 往下看
等价无穷小的实质
泰勒在$x = 0$处的展开的第一项
加减法的话就用泰勒展开. 两项都要用, 并且展开的项数应该相等.
如果展开一项, 加减法结果是0, 则继续展开, 直到不为0.