空间解析几何笔记
简单记录, 复习用
平面
点法式
$M_0(x_0, y_0, z_0), \vec n = (A, B, C)$
平面上任意一点$M(x, y, z)$, 有$\overrightarrow{MM_0} \perp \vec n$, 所以
$$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$
一般式
从点法式很容易看出就是一个关于$x, y, z$的一次方程:
$$Ax + By + Cz + D = 0$$
特殊方程性质
- $D = 0$, 过原点
- $A(B, C) = 0$, 平行于$x(y, z)$轴
- $A = B = 0$, 平行于$xOy$
一般式$\to$点法式
取任意一点$(x_0, y_0, z_0)$满足$Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0$, 然后这个等式和一般式相减.
截距式
$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$$
直线
对称式和参数方程
$M_0(x_0, y_0, z_0), \vec s = (m, n, p)$
平面上任意一点$M(x, y, z)$, 有$\overrightarrow{MM_0} \parallel \vec n$, 所以
$$\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$$
令上述等式等于$t$, 得到参数方程:
$$\begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \\ z = z_0 + pt \end{cases}$$
一般方程
两平面相交为一直线
$$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}$$
对称式$\to$一般式
取对称式的第一第二, 第一第三分别化简, 得到的两个等式, 联立就是一般式.
一般式$\to$对称式
找出直线上一点$(x_0, y_0, z_0)$, 可令$x_0 = 1$, 解得$y_0, z_0$.
对于两平面的法向量叉乘得到直线方向向量.
曲面
旋转曲面
二维平面上的曲线$C:f(y, z) = 0$绕$z$轴旋转得到.
曲面$\Sigma:g(x, y, z) = f(\pm\sqrt{x^2 + y^2}, z) = 0$
绕谁($z$)转谁不变, 另一个($y$)变成$\pm\sqrt{x^2 + y^2}$
柱面
一根直线沿空间中一条曲线运动形成的曲面
只含两个变量的方程是特殊的柱面$\Sigma: g(x, y, z) = f(x, y) = 0$
不含谁母线平行谁
含有三个变量的方程也可能是柱面
二次曲面
TODO
法向量和切平面
曲面方程$\Sigma:F(x, y, z) = 0$, $\Sigma$上一点$M(x_0, y_0, z_0)$. 法向量$\vec n = (F_x, F_y, F_z)\mid_{(x_0, y_0, z_0)}$
取一条过$M$点且在$\Sigma$上的曲线$\Gamma: \begin{cases} x = \phi(t)\newline y = \psi(t)\newline z = \omega(t) \end{cases}$, 在该点的切向量
$$\vec s = (\phi’(t_0), \psi’(t_0), \omega’(t_0))$$
又因为$\Gamma \subset \Sigma$, 有 $F(\phi(t), \psi(t), \omega(t)) \equiv 0$, 对两边求全导, 有
$$F_x \phi’(t) + F_y \psi’(t) + F_z \omega’(t) = 0$$
又因为曲线$\Gamma$是任取的, 所以可以取遍每个"方向", 这样所有的切向量组成了一个切平面, 而上述等式表示$(F_x, F_y, F_z)$切向量垂直, 也即于切平面垂直, 所以点$M$处的法向量为$\vec n = (F_x, F_y, F_z)\mid_{(x_0, y_0, z_0)}$
确实很难直观理解
曲线
一般方程
两曲面的交线
$$\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$$
参数方程
$$\begin{cases} x = \phi(t)\newline y = \psi(t)\newline z = \omega(t) \end{cases}$$
方向向量和法平面
参数方程形式, $\vec s = (\phi’(t_0), \psi’(t_0), \omega’(t_0))$
$\begin{cases}y = \psi(x)\newline z = \omega(x)\end{cases}$形式, 以$x$为参数, 化为 $\begin{cases} x = x\newline y = \psi(x)\newline z = \omega(x) \end{cases}$, 故 $\vec s = (1, \psi’(x), \omega’(x))$
一般形式, 考虑以$x$为参数, 那么由方程组 $\begin{cases}F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0\end{cases}$ 确定了两个隐函数$y=\psi(x), z = \omega(x)$, 代入得
$$\begin{cases}F(x, \psi(x), \omega(x)) \equiv 0 \\ G(x, \psi(x), \omega(x)) \equiv 0\end{cases}$$
隐函数方程组求导可得$\psi’(x), \omega’(x)$, 进而 $\vec s = (1, \psi’(x), \omega’(x))$