2021 ICPC EC 网络预选赛第二场 K.Meal @ Wings            分类 ACM
发布于 星期六, 十月 2 日, 2021 年
更新于 星期日, 十月 3 日, 2021 年

题目

题意

$n$ 个人选 $n$ 个物品, 每个人选一个. 每个人对物品有一个喜爱值 $a_{ij}$. 从第一个人开始, 在没有被选的物品中随机选择一个物品 $j$, 概率为 $\frac{a_{ij}}{\sum_{k\in S} a_{ik}}$, 其中 $S$ 是剩余物品集合. 问每个人选到每个物品的概率, 答案对 $998244353$ 取模.

$1 \le n \le 20, 1 \le a_{ij} \le 100$

题解

学好概率论, 走遍天下都不怕(雾)

根据全概率公式, 一个很自然的思想是: 设 $A_{ij}$ 为事件 “第 $i$ 个人选到第 $j$ 个物品”, 那么有:

$$\begin{aligned} P(A_{2j}) &= \sum_{k \ne j} P(A_{2j} | A_{1k}) \cdot P(A_{1k}) \newline P(A_{3j}) &= \sum_{k \ne l \ne j} P(A_{3j} | A_{2k}A_{1l}) \cdot P(A_{2k} | A_{1l}) \cdot P(A_{1l}) \newline \cdots \end{aligned}$$

然后这玩意相当于枚举全排列……

考察 $P(A_{3j})$ 的某些项, 可以发现 $P(A_{3j} | A_{2k}A_{1l})$ 和 $P(A_{3j} | A_{2l}A_{1k})$ 是一样的, 这是重复计算. 想象更后面的人, 重复项会越来越多, 累计到阶乘的复杂度. 所以, 这是优化算法的一个突破口.

于是尝试重新对事件做一个划分: 设 $B_{is}$ 为随机事件 “前 $i$ 个人选择的物品集合为 $s$”. 那么有:

$$P(A_{ij}) = \sum_{x \in s} P(A_{ij} | B_{i-1, s - \{x\}}) \cdot P(B_{i-1, s - \{x\}})$$

那么计算所有 $P(A_{ij})$ 的总枚举量, 就是 $O(n \cdot 2^n)$.

然后考虑怎么计算 $P(B_{is})$.

这玩意显然不能直接算, 所以大抵能猜是个 dp, 有了上一步的经验, 来看看如何对事件 $B_{is}$ 进行一个划分, 得到有关联的全概率公式, 然后 dp 求解. 可以发现:

$$P(B_{is}) = \sum_{x \in s} P(B_{is} | B_{i-1, s - \{x\}}) \cdot P(B_{i-1, s - \{x\}})$$

这个公式和前面那个一样, 总枚举量为 $O(n \cdot 2^n)$.

公式里的 $P(A_{ij} | B_{i-1, s - \{x\}})$ 和 $P(B_{is} | B_{i-1, s - \{x\}})$ 其实是已知的, 就是第 $i$ 个人在 $s$ 被选的条件下, 选到 $j$ 的概率, 也就是 $\frac{a_{ij}}{\sum_{k \not \in s} a_{ik}}$.

然后两个方程一起 dp. 基本上就没了.

细节是要先计算一下之前那个式子的分母, 在 $O(n \cdot 2^n)$ 的时间内可预处理. 然后因为要算分数取模, 逆元不能每次求都用费马小, 否则复杂度稳定多一个 $O(\log P)$. 注意到分母最大也就 $n$ 个 $a$, 而 $a$ 只有 $100$. 所以可以预处理出 $20 \cdot 100$ 的逆元. 这里费马小或者线性推都可, 复杂度不会叠上去.

代码

int count(int x) {
  int cnt = 0;
  while (x) {
    cnt++;
    x ^= lowbit(x);
  }
  return cnt;
}

int inv[MAXM];
void init_inv(int n) {
  inv[0] = inv[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++)
    inv[i] = mult(P - P/i, inv[P%i]);
}

int n, a[MAXN][MAXN], sum[MAXN][MAXS], dp[MAXS], ans[MAXN][MAXN];
VI S[MAXN];

int main() {
  scanf("%d", &n);
  init_inv(2005);
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 0; j < n; j++)
      scanf("%d", &a[i][j]);

  for (int s = 0; s < 1 << n; s++)
    S[count(s)].emplace_back(s);

  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    sum[i][0] = 0;
    for (int c = 1; c <= n; c++)
      for (auto s : S[c]) {
        int s0 = s ^ lowbit(s);
        sum[i][s] = sum[i][s0] + a[i][__lg(lowbit(s))];
      }
  }

  dp[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int s : S[i])
      for (int j = 0; j < n; j++)
        if (s & (1 << j)) {
          int s0 = s ^ (1 << j);
          int inv_s0 = (~s0) & ((1 << n) - 1);
          int cur = mult(dp[s0], mult(a[i][j], inv[sum[i][inv_s0]]));
          dp[s] = pls(dp[s], cur);
          ans[i][j] = pls(ans[i][j], cur);

  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 0; j < n; j++)
      printf("%d%c", ans[i][j], " \n"[j == n-1]);

  return 0;
}

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个人简介

我叫 Wings, 来自江西上饶, 目前人在西安, 是西电的一名学生.

常以 WingsWingsZengWingsWings的ID在各大小网站上游走, 一般来说, Wings不是我 😔, WingsZeng 一定是我 😊.

热爱算法, 喜欢钻研各种计算机技术.

业余爱好广泛, 只要不是文化课基本上都感兴趣😏.

开发/项目经历

  1. Android游戏 小墨滴的复仇 (弃坑)
  2. Android游戏 Circle Run (弃坑)
  3. Windows游戏 Snague (可能弃坑了吧)
  4. Python后端 Fathy' (可能弃坑了吧)

to be continued

教育经历

时间 学历 学校
2008-2014 小学 上饶市第十二小学
2014-2017 初中 上饶市第四中学
2017-2020 高中 上饶市第一中学
2020-2024 本科 西安电子科技大学
to be continued

比赛/竞赛经历

太久远太小的记不到了…

  1. 2017 国学竞赛初赛江西 没有分数或排名 二乙
  2. 2018 NOIP提高 258 省二
  3. 2019 CSP-S江西专场 145 省二
  4. 2019 数学竞赛初赛 70 没排名 (复赛打铁qaq)
  5. 2020 Gitee|Python贪吃蛇魔改大赛 可能是第四? 二等奖
  6. 2020 西电ACM训练基地熊猫杯 第四 银牌
  7. 2020 西安三校微软学生俱乐部Hackathon 和二等奖最后一名差0.5分 三等奖
  8. 2020 西电星火杯 三等奖
  9. 2020 西电ACM新生赛 第九 金牌
  10. 2020 ICPC 亚洲区域赛 济南站 132名 铜牌
  11. 2020-2021 第二届全国大学生算法设计与编程挑战赛(冬季赛) 924名 铜牌 (别骂了别骂了)
  12. 2020 ICPC 亚洲区域赛 昆明站 打星
  13. 2020 ICPC Asia-East Continent Final 签完到溜 打铁
  14. 西电"智能星"第一届自动驾驶小车比赛 第五 优胜奖|极速奖 本来可以冠军的别骂了别骂了
  15. 2021团体程序设计天体赛(CCCC) 个人二等奖
  16. 2021 西电 miniL CTF 优胜奖
  17. 2021 西电ACM校赛 第9名 金牌
  18. 2021 西电数模校赛 二等奖
  19. 2021 第15届IEEE 第48名
  20. 2021 CCPC 桂林站 打星

to be continued

爱好

技术

  • 算法
  • 独立游戏开发

游戏

  • Minecraft
  • Black Survival
  • I Wanna
  • Celeste
  • Life is Strange
  • Need for speed

运动

  • 篮球
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  • 羽毛球
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追星

  • VAE
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