2021 牛客多校第一场 G.Game of Swapping Numbers @ Wings            分类 ACM
发布于 星期一, 七月 26 日, 2021 年
更新于 星期一, 七月 26 日, 2021 年

题目

题意

给出两个长度为 $n$ 的序列 $A, B$, 恰好交换 $A$ 中的两个数 $k$ 次, 使得 $\sum_{i=1}^n \mid A_i - B_i \mid$ 最大.

$2 \le n \le 5 \times 10^5, 0 \le k \le 10^18, -10^8 \le A_i, B_i \le 10^8$

题解

首先有一个很重要的贡献转换, 考察 $\min A_i - B_i \mid$ 这个式子, 如果 $A_i > B_i$, 那么 $A_i$ 对答案的贡献是 $+A_i$, $B_i$ 对答案的贡献是 $-B_i$; 如果 $A_i < B_i$, 那么 $A_i$ 对答案的贡献是 $-A_i$, $B_i$ 对答案的贡献是 $+B_i$. 这样可以知道, 两个序列里的数, 对答案的贡献要么是正的自己, 要么是负的自己, 这样就把本身"绑在一起"的 $A_i, B_i$ 贡献"分开"了. 同时还需要满足的条件是正的符号个数等于负的符号个数, 都等于 $n$. 不考虑次数限制, 相当于给这 $2n$ 个数分配正负号各 $n$ 个, 使得他们的和最大. 所以排序, 最大的 $n$ 个正号, 剩下 $n$ 个负号即可.

把最优的符号分配方案放到原来的顺序上看, 每个位置 $i$ 上的两个数可能是如下情况:

-++-
+-+-

其中第一第二就是最优的了, 而第三第四, 即 ++--, 交换以后才是更优的. 由于正负号个数相等的性质, ++-- 的个数是相等的, 所以可以交换, 使得全部变成 +--+.

现在再来考虑恰好 $k$ 次交换的限制.

当 $n > 2$ 时, 根据鸽子原理, 一定有 $2$ 个相同的符号. 让他们交换, 不会改变答案. 所以恰好 $k$ 次在 $n > 2$ 的情况下是至多 $k$ 次. $n = 2$ 特判, 不再考虑.

接下来的问题是, 交换哪些更优? 稍微推一下:

假设 $i$ 位置最优贡献是两个 +, 更大的原本对答案的贡献依然是+, 更小的原本对答案的贡献是-, 和某个 - 交换后对答案的贡献是+. 也就是说, 对于 $i$ 这个位置, 交换能够使答案增加 $2 \min \{ A_i, B_i \}$

对于两个 - 也这样考虑, 交换能够使答案增加 $-2 \max \{ A_j, B_j \} = 2 \min \{-A_j, -B_j\}$

他们是独立的, 所以只需要确定两个数的符号, 然后看看需不需要交换, 如果需要, 看看是+还是-, 分开排序, 取最大即可.

复杂度 $O(n \log n)$

代码
int n, k, a[MAXN], b[MAXN], sgn[2][MAXN];	// 0+, 1-
struct Num {
	int flag, val, id;
	Num(int flag, int val, int id):flag(flag), val(val), id(id) {}
	bool operator < (const Num &N) const {
		return val == N.val ? id == N.id ? flag < flag : id < N.id : val < N.val;
	}
};
vector<Num> all;
struct Par {
	int a, b;
	Par(int a, int b):a(a), b(b) {}
	int getMin() {
		return min(a, b);
	}
	bool operator < (const Par &P) const {
		return min(a, b) > min(P.a, P.b);
	}
};
vector<Par> pos, neg;

LL sum = 0;

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", a + i);
		all.emplace_back(0, a[i], i);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", b + i);
		all.emplace_back(1, b[i], i);
	}

	if (n == 2 && k&1)
		swap(a[1], a[2]);

	for (int i = 1; i <= n; i++)
		sum += abs(a[i] - b[i]);

	if (n > 2) {
		sort(all.begin(), all.end());
		for (int i = 0; i < n; i++)
			sgn[all[i].flag][all[i].id] = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) if (sgn[0][i] == sgn[1][i]) {
			if (sgn[0][i] == 0)
				pos.emplace_back(a[i], b[i]);
			else
				neg.emplace_back(-a[i], -b[i]);
		}
		sort(pos.begin(), pos.end());
		sort(neg.begin(), neg.end());
		for (int i = 0; i < min(k, (int)pos.size()); i++)
			sum += 2 * (pos[i].getMin() + neg[i].getMin());
	}

	printf("%lld\n", sum);
	return 0;
}
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2021 FLAG

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个人简介

我叫 Wings, 来自江西上饶, 目前人在西安, 是西电的一名学生.

常以 WingsWingsZengWingsWings的ID在各大小网站上游走, 一般来说, Wings不是我 😔, WingsZeng 一定是我 😊.

热爱算法, 喜欢钻研各种计算机技术.

业余爱好广泛, 只要不是文化课基本上都感兴趣😏.

开发/项目经历

  1. Android游戏 小墨滴的复仇 (弃坑)
  2. Android游戏 Circle Run (弃坑)
  3. Windows游戏 Snague (可能弃坑了吧)
  4. Python后端 Fathy' (可能弃坑了吧)

to be continued

教育经历

时间 学历 学校
2008-2014 小学 上饶市第十二小学
2014-2017 初中 上饶市第四中学
2017-2020 高中 上饶市第一中学
2020-2024 本科 西安电子科技大学
to be continued

比赛/竞赛经历

太久远太小的记不到了…

  1. 2017 国学竞赛初赛江西 没有分数或排名 二乙
  2. 2018 NOIP提高 258 省二
  3. 2019 CSP-S江西专场 145 省二
  4. 2019 数学竞赛初赛 70 没排名 (复赛打铁qaq)
  5. 2020 Gitee|Python贪吃蛇魔改大赛 可能是第四? 二等奖
  6. 2020 西电ACM训练基地熊猫杯 第四 银牌
  7. 2020 西安三校微软学生俱乐部Hackathon 和二等奖最后一名差0.5分 三等奖
  8. 2020 西电星火杯 三等奖
  9. 2020 西电ACM新生赛 第九 金牌
  10. 2020 ICPC 亚洲区域赛 济南站 132名 铜牌
  11. 2020-2021 第二届全国大学生算法设计与编程挑战赛(冬季赛) 924名 铜牌 (别骂了别骂了)
  12. 2020 ICPC 亚洲区域赛 昆明站 打星
  13. 2020 ICPC Asia-East Continent Final 签完到溜 打铁
  14. 西电"智能星"第一届自动驾驶小车比赛 第五 优胜奖|极速奖 本来可以冠军的别骂了别骂了
  15. 2021团体程序设计天体赛(CCCC) 个人二等奖
  16. 2021 西电 miniL CTF 优胜奖
  17. 2021 西电ACM校赛 第9名 金牌
  18. 2021 西电数模校赛 二等奖
  19. 2021 第15届IEEE 第48名
  20. 2021 CCPC 桂林站 打星

to be continued

爱好

技术

  • 算法
  • 独立游戏开发

游戏

  • Minecraft
  • Black Survival
  • I Wanna
  • Celeste
  • Life is Strange
  • Need for speed

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