Codeforces Round 695 D. Sum of Paths @ Wings            分类 ACM
发布于 星期三, 一月 13 日, 2021 年
更新于 星期二, 七月 20 日, 2021 年

题目

题意

$n$ 个连续的格子, 从左到右分别标号为 $1 \sim n$. 初始第 $i$ 个格子上的数为 $a_i$. 把从任意一点开始, 正好走 $k$ 步的一条路径成为合法路径. 每一步只能走相邻的格子, 且不能出界. 一条路径的价值是, 每一次走到一个格子, 价值就加上格子上的这个数.

给出$q$个修改, 每次只修改一个格子的数$a_i$, 输出每次修改后的所有路径价值之和模$10^9 + 7$.

$1 \le n, k, le 5000, 1 \le q \le 2 \cdot 10^5, 1 \le a_i \le 10^9$

题解

显然要转化贡献. 这道题也难在转化贡献.

首先有一点很容易想: 我们要求第$i$个位置对所有路径的贡献$cnt_i$, 答案就是$\sum ai \cdot cnt_i$.

接下来, 如果用一条路径上出现的$i$个数求$cnt_i$, 就得用三维dp, 复杂度爆炸. 所以不能这么做.

再转化一次贡献, 求经过了第$i$个位置的合法路径有多少条. 由于一条路径可能不止一个, 所以我们再拆分一下. 设 $A_{i, j}$ 为 第 $j$ 步在 $i$ 的路径条数. 然后求和 $cnt_i = \sum_{j = 0}^k A_{i, j}$.

现在我们已经将贡献从出现次数转化到了路径条数. 那么, 尝试dp求一下路径条数: $dp_{i, j}$ 表示走了 $j$ 步, 最后一步在 $i$ 的路径条数. 由于对称性, 它还表示从 $i$ 开始走 $j$ 步的路径条数.

要求第 $j$ 步在 $i$ 的路径条数, 我们就得把这条路分成两部分:

  1. 第 $0$ 步到第 $j$ 步, 路径数有 $dp_{i, j}$
  2. 第 $j$ 步到第 $k$ 步, 路径数有 $dp_{i, k-j}$

然后相乘就是$A_{i, j}$了.

复杂度$O(n^2 + q)$

代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long

const int N = 5005, mod = 1e9 + 7;
int dp[N][N], cnt[N], a[N], q, n, k;

void pre() {
    for (int i = 0; i < n; i++)
        dp[i][0] = 1;

    for (int j = 1; j < N; j++) {
        dp[0][j] = dp[1][j - 1];
        for (int i = 1; i < n - 1; i++)
            dp[i][j] = (dp[i - 1][j - 1] + dp[i + 1][j - 1]) % mod;
        dp[n - 1][j] = dp[n - 2][j - 1];
    }

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j <= k; j++)
            cnt[i] += dp[i][j] * dp[i][k - j], cnt[i] %= mod;
    }
}

void solveTestCase() {
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> a[i], ans += a[i] * cnt[i], ans %= mod;

    while (q--) {
        int i, x;
        cin >> i >> x;
        i--;

        ans -= (a[i] * cnt[i]) % mod, ans += mod, ans %= mod;

        a[i] = x;
        ans += (a[i] * cnt[i]), ans %= mod;
        cout << ans << "\n";
    }
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);

    cin >> n >> k >> q;
    pre();

    int t = 1;
    //cin >> t;
    while (t--)
        solveTestCase();
}
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2021 FLAG

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  • 写首完整的曲子
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个人简介

我叫 Wings, 来自江西上饶, 目前人在西安, 是西电的一名学生.

常以 WingsWingsZengWingsWings的ID在各大小网站上游走, 一般来说, Wings不是我 😔, WingsZeng 一定是我 😊.

热爱算法, 喜欢钻研各种计算机技术.

业余爱好广泛, 只要不是文化课基本上都感兴趣😏.

开发/项目经历

  1. Android游戏 小墨滴的复仇 (弃坑)
  2. Android游戏 Circle Run (弃坑)
  3. Windows游戏 Snague (可能弃坑了吧)
  4. Python后端 Fathy' (可能弃坑了吧)

to be continued

教育经历

时间 学历 学校
2008-2014 小学 上饶市第十二小学
2014-2017 初中 上饶市第四中学
2017-2020 高中 上饶市第一中学
2020-2024 本科 西安电子科技大学
to be continued

比赛/竞赛经历

太久远太小的记不到了…

  1. 2017 国学竞赛初赛江西 没有分数或排名 二乙
  2. 2018 NOIP提高 258 省二
  3. 2019 CSP-S江西专场 145 省二
  4. 2019 数学竞赛初赛 70 没排名 (复赛打铁qaq)
  5. 2020 Gitee|Python贪吃蛇魔改大赛 可能是第四? 二等奖
  6. 2020 西电ACM训练基地熊猫杯 第四 银牌
  7. 2020 西安三校微软学生俱乐部Hackathon 和二等奖最后一名差0.5分 三等奖
  8. 2020 西电星火杯 三等奖
  9. 2020 西电ACM新生赛 第九 金牌
  10. 2020 ICPC 亚洲区域赛 济南站 132名 铜牌
  11. 2020-2021 第二届全国大学生算法设计与编程挑战赛(冬季赛) 924名 铜牌 (别骂了别骂了)
  12. 2020 ICPC 亚洲区域赛 昆明站 打星
  13. 2020 ICPC Asia-East Continent Final 签完到溜 打铁
  14. 西电"智能星"第一届自动驾驶小车比赛 第五 优胜奖|极速奖 本来可以冠军的别骂了别骂了
  15. 2021团体程序设计天体赛(CCCC) 个人二等奖
  16. 2021 西电 miniL CTF 优胜奖
  17. 2021 西电ACM校赛 第9名 金牌
  18. 2021 西电数模校赛 二等奖
  19. 2021 第15届IEEE 第48名
  20. 2021 CCPC 桂林站 打星

to be continued

爱好

技术

  • 算法
  • 独立游戏开发

游戏

  • Minecraft
  • Black Survival
  • I Wanna
  • Celeste
  • Life is Strange
  • Need for speed

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