常微分方程求解总结 @ Wings            分类 高数
发布于 星期三, 十二月 30 日, 2020 年
更新于 星期二, 七月 20 日, 2021 年

总结一下微分方程的解法

一阶微分方程

可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程是指可化为$g(y)dy=f(x)dx$形式的微分方程, 两边同时积分便可以求得结果.

但是在化简的过程中, 经常用到除法, 而被除数又不能为$0$, 所以这里化简完以后会带一个$\ne 0$的条件, 最后需要讨论$= 0$的情况.

例题

求微分方程$\frac{dy}{dx} = 2xy$的通解

分离变量, 得 $$\frac{dy}{y} = 2xdx\ \ (y \ne 0)$$ 两边积分, 得 $$\ln |y| = x^2 + C_1\ \ (y \ne 0)$$

但此时这个解没有把$y = 0$的情况包含进去, 所以我们对两边$exp$作用, 得 $$y = \pm e^{x^2 + C_1} = \pm e^{C_1}e^{x^2}\ \ (y \ne 0, C_1 \text{是任意常数})$$ 此时$e^{x^2}$的系数$C = \pm e^{C_1}$是任意非$0$常数.

再看$y = 0$时, 要使得方程成立, $C$取$0$即可, 所以, 微分方程的通解是 $y = Ce^{x^2}\ \ (C \text{是任意常数})$

在求解问题的时候, 要简单交代一下$y = 0$的情况即可, 不需要像上面一样分析得这么具体.

之后的方程中, 若不加说明, 则默认$C$是任意常数.

齐次方程

如果一阶微分方程可化为 $$\frac{dy}{dx} = \phi(\frac{y}{x})$$ 的形式, 那么称它为齐次方程

齐次方程的一个重要特征是, 每一项关于x, y的次数和是相等的.

齐次方程的解法也很简单, 只需要令$u = \frac{y}{x}$, 转化为$u-x$的微分方程即可. 具体过程如下:

$$u = \frac{y}{x} \Rightarrow y = ux$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{dux}{dx} = u’x + u = x\frac{du}{dx} + u$$ $$\therefore \frac{dy}{dx} = \phi(\frac{y}{x})$$ $$\Rightarrow x\frac{du}{dx} + u = \phi(u)$$ 分离变量: $$\Rightarrow \frac{du}{\phi(u) - u} = \frac{dx}{x}$$

同样地, 因为分离变量涉及到除法, 需要分类讨论.

但是这里不用讨论$x=0$, 即使原方程中$x$没有定义域限制, 我也不知道为什么…

例题

求微分方程 $$y^2 + x^2\frac{dy}{dx} = xy\frac{dy}{dx}$$ 的通解.

第一步将方程化为 $$\frac{dy}{dx} = \phi(\frac{y}{x})$$ 的形式: $$\frac{dy}{dx} = \frac{(\frac{y}{x})^2} {\frac{y}{x} - 1}$$ 然后令$u = \frac{y}{x}$, 并将方程化为: $$(1 - \frac{1}{u})du = \frac{dx}{x}$$ $$\therefore \ln|ux| = u + C$$ $$\therefore \ln |y| = \frac{y}{x} + C$$

因为这里的$x \ne 0, 且xy-x^2 \ne 0 \Rightarrow y \ne x \ne 0$, 所以不需要讨论$y = 0$, 也就没必要exp一下.

一阶线性微分方程

形如 $$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)$$ 的微分方程称为一阶线性微分方程. 当$q(x) \equiv 0$时, 称为齐次线性方程; $q(x) \not \equiv 0$时, 称为非齐次线性方程, 而把$\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0$这样的方程称为它对应的齐次线性方程.

齐次线性方程解法

分离变量就行了, 得到 $$y = Ce^{-\int p(x)dx}\ \ (C = \pm e^{C_1})$$

我们把 $$e^{\int p(x)dx}$$ 称为积分因子. 积分因子不是固定的, 只是构造用的一个称呼.

记住这个积分因子

齐次非线性方程解法

方程两边同时乘以积分因子$e^{\int p(x)dx}$, 得到 $$e^{\int p(x)dx}\frac{dy}{dx} + p(x)e^{\int p(x)dx}y = q(x)e^{\int p(x)dx}$$ 欸, 发现左边其实是 $$e^{\int p(x)dx}y' + (e^{\int p(x)dx})' y = (e^{\int p(x)dx}y)'$$ 那么我们对方程两边积分, 就得到 $$\int (e^{\int p(x)dx}y)' dx = \int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C$$ $$\therefore e^{\int p(x)dx}y = \int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C$$ 然后同时除以$e^{\int p(x)dx}$, 就得到了 $$y = e^{-\int p(x)dx} (\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C)$$

在用计算的时候, 我们只需要背这个公式就行了. 忘了就用这个方法推一遍, 过程比书上那个常数易变有道理多了.

还需要特殊注意的是, $e^{\int p(x)dx}$只需要一个特解, 即不用加$C$(或者你加一个确定的数也可以, 为了方便就令$C = 0$了); 如果$\int p(x)dx$积出来是$\ln|\phi(x)|$, 那么这里的绝对值可以直接去掉(这是讨论出来的普适结果, 记住就行)

例题

套公式还要例题???

高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程

比较简单, 先咕咕咕

常系数齐次线性微分方程

n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是: $$y^{(n)} + p_1 y^{(n-1)} + p_2 y^{(n-2)} + \dots + p_{n-1} y' + p_n y = 0$$ 其中$p_i$为常数.

把$y^{(i)}$用$r^i$代替, 就得到了特征方程: $$r^{n} + p_1 r^{n-1} + p_2 r^{n-2} + \dots + p_{n-1} r + p_n = 0$$ 这样会解得n个根$r_i$.

得到的特征方程的根, 对应的微分方程通解中的对应项有如下关系:

特征方程的根 微分方程通解中对应的项
k重实根r 给出k项: $e^{rx}(C_1 + C_2 x + \dots C_k x^{k-1})$
一对k重复根$r_{1, 2} = \alpha \pm \beta$ 给出2k项: $e^{\alpha x}[(C_1 + C_2 x + \dots C_k x^{k-1}) \cos \beta x + (D_1 + D_2 x + \dots D_k x^{k-1}) \sin \beta x]$

例题

求方程$y^{(4)} - 2y''' + 5y'' = 0$的通解.

特征方程为: $$r^4 - 2r^3 + 5r^2 = 0$$ $$r^2((r-1)^2 + 4) = 0$$ 特征根为$r_{1,2} = 0, r_{3,4} = 1 \pm 2i$

所以通解为 $$\begin{aligned} y &= (C_1 + C_2 x)e^{(0 \cdot x)} + e^{1 \cdot x}(C_3 \cos 2x + C_4 \sin 2x) \newline &= C_1 + C_2 x + e^x (C_3 \cos 2x + C_4 \sin 2x) \end{aligned}$$

常系数非齐次线性微分方程

下面的$P_m(x), R_m(x)$都表示$x$的$m$次多项式, $y^*(x)$表示特解

我们只需要求一个特解, 再根据结构定理加上齐次方程的通解就得到了非齐次方程的通解. 所以, 下面给出两种形式的方程的特解的求法.

$f(x) = e^{\lambda x}P_m(x)$

令 $$y^* = x^ke^{\lambda x}R_m(x)$$ 其中, $\lambda$是对应齐次方程的特征方程的$k$重根($k$可以为$0$, 即$\lambda$不是根)

然后把特解以及他的导数对应地代回方程, 比较系数, 求出$R_m(x)$就行了.

例题

咕咕咕

$f(x) = e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x + Q_n(x)\sin \omega x]$

令 $$y^* = x^k e^{\lambda x} [R^{(1)}_m \cos \omega x + R^{(2)}_m \sin \omega x]$$ 其中$m = max{l, n}$, $\lambda + \omega i$是对应齐次方程的特征方程的$k$重根.

同上代回求系数即可.

例题

咕咕咕

线性微分方程的结构与性质

线性微分方程的线性性质

$n$阶线性微分方程$y^{n} + a_1(x) y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1} y' + a_n y = f(x)$有两个特解$y_1(x), y_2(x)$, 那么$y^* = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$是方程的一个解(符合下面的结构定理的是通解, 其他的是特解).

线性齐次微分方程的结构定理

$n$阶线性齐次微分方程$y^{n} + a_1(x) y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1} y' + a_n y = 0$有$n$个线性无关的特解$y_1(x), y_2(x), \dots y_n(x)$, 那么它的通解为 $$y = \sum_{i = 1}^n C_i y_i(x)$$

有一种题型是根据上面两个性质或定理, 给出了多个特解(某些线性相关), 利用线性性质得到$n$个线性无关的特解, 然后根据结构定理求出通解

例题

线性非齐次微分方程的结构定理

设$n$阶线性非齐次微分方程$y^{n} + a_1(x) y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1} y' + a_n y = f(x)$的一个特解为$y^*(x)$, 它对应的齐次微分方程的通解为$Y(x)$, 那么这个方程的通解为

$$y = Y(x) + y^*(x)$$

例题

线性微分方程的叠加原理

如果$n$阶线性非齐次微分方程的右边是两个函数的和, 即 $$y^{n} + a_1(x) y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1} y' + a_n y = f_1(x) + f_2(x)$$ 而$y^*1(x)$和$y^*2(x)$分别是 $$y^{n} + a_1(x) y^{(n-1)} + \dots + a{n-1} y' + a_n y = f_1(x)$$ $$y^{n} + a_1(x) y^{(n-1)} + \dots + a{n-1} y' + a_n y = f_2(x)$$ 的特解, 则方程的一个特解为 $$y = y^*_1(x) + y^*_2(x)$$

这个定理经常用来求非齐次线性微分方程的特解

例题

简单线性非齐次方程的解法

直接猜, 一般猜$e^x, x, \cos x, \sin x$等等

待整理, 咕咕咕

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个人简介

我叫 Wings, 来自江西上饶, 目前人在西安, 是西电的一名学生.

常以 WingsWingsZengWingsWings的ID在各大小网站上游走, 一般来说, Wings不是我 😔, WingsZeng 一定是我 😊.

热爱算法, 喜欢钻研各种计算机技术.

业余爱好广泛, 只要不是文化课基本上都感兴趣😏.

开发/项目经历

  1. Android游戏 小墨滴的复仇 (弃坑)
  2. Android游戏 Circle Run (弃坑)
  3. Windows游戏 Snague (可能弃坑了吧)
  4. Python后端 Fathy' (可能弃坑了吧)

to be continued

教育经历

时间 学历 学校
2008-2014 小学 上饶市第十二小学
2014-2017 初中 上饶市第四中学
2017-2020 高中 上饶市第一中学
2020-2024 本科 西安电子科技大学
to be continued

比赛/竞赛经历

太久远太小的记不到了…

  1. 2017 国学竞赛初赛江西 没有分数或排名 二乙
  2. 2018 NOIP提高 258 省二
  3. 2019 CSP-S江西专场 145 省二
  4. 2019 数学竞赛初赛 70 没排名 (复赛打铁qaq)
  5. 2020 Gitee|Python贪吃蛇魔改大赛 可能是第四? 二等奖
  6. 2020 西电ACM训练基地熊猫杯 第四 银牌
  7. 2020 西安三校微软学生俱乐部Hackathon 和二等奖最后一名差0.5分 三等奖
  8. 2020 西电星火杯 三等奖
  9. 2020 西电ACM新生赛 第九 金牌
  10. 2020 ICPC 亚洲区域赛 济南站 132名 铜牌
  11. 2020-2021 第二届全国大学生算法设计与编程挑战赛(冬季赛) 924名 铜牌 (别骂了别骂了)
  12. 2020 ICPC 亚洲区域赛 昆明站 打星
  13. 2020 ICPC Asia-East Continent Final 签完到溜 打铁
  14. 西电"智能星"第一届自动驾驶小车比赛 第五 优胜奖|极速奖 本来可以冠军的别骂了别骂了
  15. 2021团体程序设计天体赛(CCCC) 个人二等奖
  16. 2021 西电 miniL CTF 优胜奖
  17. 2021 西电ACM校赛 第9名 金牌
  18. 2021 西电数模校赛 二等奖
  19. 2021 第15届IEEE 第48名
  20. 2021 CCPC 桂林站 打星

to be continued

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