积分的各种淫奇技巧 @ Wings            分类 高数
发布于 星期五, 十一月 20 日, 2020 年
更新于 星期二, 七月 20 日, 2021 年

积分好难 😖

基本积分表

标记 (*) 的是不熟的, 需要加强记忆.

最基本

这是我自己认为的最基本, 和教材上不太一样

一定要记住啊!!!

幂指对

  • $\int kdx = kx + C$
  • $\int x^\mu dx = \frac{x^{\mu + 1}}{\mu + 1} + C \ \ (\mu \ne -1)$
  • $\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C$
  • $\int e^x dx = e^x + C$
  • $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

三角

  • $\int \sin xdx = -\cos x + C$
  • $\int \cos xdx = \sin x + C$
  • $^* \int \tan xdx = -\ln |\cos x| + C$
  • $^* \int \cot xdx = \ln |\sin x| + C$
  • $^* \int \sec ^2 xdx = \tan x + C$
  • $^* \int \csc ^2 xdx = -\cot x + C$
  • $^* \int \sec x \tan x dx = \sec x + C$
  • $^* \int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$

反三角

  • $\int \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x + C$
  • $\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C$

再记一点

忘记了的话可以用换元法由最基本积分推导

含有$\frac{1}{\pm x^2 \pm a^2}$

  • $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \ \ $ (第一类换元)
  • $^ * \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln |\frac{x-a}{x+a}| + C \ \ $ (拆$\frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}(\frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a})$, 再第一类换元)
  • $^ * \int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \ln |\frac{a+x}{a-x}| + C \ \ $ (拆$\frac{1}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a}(\frac{1}{a-x} + \frac{1}{a+x})$, 再第一类换元, 或者直接等于上面公式的相反数)

  • $\begin{aligned} \int \sec xdx &= \frac{1}{2} [\ln (1 + \sin x) - \ln (1 - \sin x)] + C \newline ^ * &= \ln |\tan (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})| + C \newline ^ * &= \ln |\sec x + \tan x| + C \end{aligned}$
  • $\begin{aligned} \int \csc xdx &= -\frac{1}{2} [\ln (1 + \cos x) - \ln (1 - \cos x)] + C \newline ^ * &= \ln |\tan \frac{x}{2}| + C \newline ^ * &= \ln |\csc x - \cot x| + C \end{aligned}$

以$\int \sec xdx$为例, 写一下过程:

$\begin{aligned} \int \sec xdx &= \int \frac{dx}{\cos x} \newline &= \int \frac{\cos xdx}{\cos^2 x} \newline &= \int \frac{d\sin x}{1 - \sin^2 x} \newline &= \frac{1}{2} [\ln (1 + \sin x) - \ln (1 - \sin x)] + C \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int \sec xdx &= \int \frac{(\sec xdx)(\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} \newline &= \int \frac{(\sec^2 x + \sec x \tan x)dx}{\sec x + \tan x} \newline &= \int \frac{d(\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} \newline &= \ln |\sec x + \tan x| + C \end{aligned}$

以上过程用到第一类换元

含有$\frac{1}{\sqrt{\pm x^2 \pm a^2}}$

双曲(暂时没用过)

  • $\int \sinh xdx = \cosh x + C$
  • $\int \cosh xdx = \sinh x + C$

积分方法

第一类换元

凑微分法

凑微分法是复合求导的逆运算.

先来看看复合求导:

$$[f(g(x))]' = f'(g(x))g'(x)$$

那么第一类还原法就是看被积函数是不是长成上述式子右边的样子, 或能不能转化成右边. 如果可以, 那么把$g'(x)$放到积分号里面.

一般来说, 我们只需要找到$g'(x)$和$g(x)$以及$f'(g(x))$即可. 所以, 我们有两个思考方向:

1. 找$f'(g(x))$.

虽然这里有一个$g(x)$, 看起来比较难找, 但是我们_忽略_他, 只要找一个最大的函数, 就是$f'(u)$.

这个$f(u)$一般有如下的形式:

  1. $e^u$, 即$e^{g(x)}$, 比如$e^{\sin x}, e^{x^2}, e^{\arcsin x}, \dots$
  2. 三角函数, 比如$\sin 2x, \tan e^x$
  3. $\frac{1}{u}$, 即$\frac{1}{g(x)}$, 比如$\frac{1}{1+x}, \frac{1}{\cos x}, \dots$
  4. $u^{\alpha}$, 即$g(x)^{\alpha}$, 比如$\sqrt{\frac{1}{x}}, \dots$

而且, $f'(u)$是被积式子的某一部分, 而且是这一部分的最外层函数. 根据这两条性质, 结合一些经验, 有时是一眼能看出$f'(u)$的.

注意, $f'(u)$只是一部分, 还有一个$g(x)$呢! 所以, 被积式子的最外层函数不是$f'(u)$

2. 找$g(x)$

找$g(x)$的方法比较无脑, 凭经验或直觉拿一个式子出来, 求导, 倒数是不是剩下部分的某一组成(通常还需要凑一下系数), 如果是, 则找到了.

而如果式子中出现了积分表中的内容, 那么一眼就能看出$g(x)$来.

例题

$$\int \sqrt{ \frac{\ln (x + \sqrt{1 + x^2})} {1 + x^2} }dx$$

下面分别用三种方法来尝试解决

1. 找$f'(u)$

可以把分子分母看成两个部分, 猜想$f'(u)$为$\sqrt{u}$, 那么$g(x)$为$\ln (x + \sqrt{1 + x^2})$, $g'(x)$为$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$, 验证一下是对的, 就恰好找到了.

如果猜想了一个$f'(u)$, 得到g(x)和g'(x), 但是他们并不是导数关系, 那就是f'(u)找的不合理

2. 找$g(x)$

$\ln (x + \sqrt{1 + x^2})$长得太奇怪了, 对他求个导, 欸, 刚好是$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$, 找完了.

如果对公式熟悉的话, 很容易看出来$\ln (x + \sqrt{1 + x^2})$是这个公式的右边:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln |x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C$$

逆代换法

逆代换法是用某个可微函数$x=\phi(t)$代入到被积表达式$f(x)dx$中, 于是得到

$$\int f(x)dx = \int f(\phi(t))\phi'(t)dt$$

对变换过的式子积分, 然后代回$t = \phi^{-1}(x)$

根式代换

根式下如果是一个一次函数, 或者是两个一次函数的比值, 那么我们可以尝试令$t = \sqrt{g(x)}$, 得到$x = G^{-1}(t)$, 用这两个换元代入积分式子.

第二类换元

第二类换元法就是把$x$换掉, $x = \psi(t)$, 求积分, 然后把结果中的$t$再换成$\psi^{-1}(x)$.

三角换元

碰到$\pm x^2 \pm a^2$ 或 $\sqrt{\pm x^2 \pm a^2}$的式子可以考虑三角换元, 即:

  1. $a^2 - x^2 \Longrightarrow x = a\sin t$
  2. $a^2 + x^2 \Longrightarrow x = a\tan t$
  3. $x^2 - a^2 \Longrightarrow x = a\sec t$

由于使用三角换元, 结果中可能会出现不同名的关于$t$的三角函数, 此时我们根据边和角的关系画一个直角三角形, 把各名字的三角函数在三角形上用比的形式写出来, 就可以方便地代回去了.

例题

咕咕咕

倒代换

当分母次数高于分子时(一般高两次以上), 可以尝试倒代换, 令$x = \frac{1}{t}$, 可以消去分母.

例题

咕咕咕

部分积分

有理函数积分

易错点总结

  1. 当用凑微分法进行第一类换元时, 如果凑进去的$g(x)$的$x$有系数, 那么凑进去的时候外面要除以这个系数. 如 $\int (a-x)dx = -\int (a-x)d(-x) = -\int (a-x)d(a-x)$, 以及$\int \cos 2x dx = \int \frac{1}{2} d\sin 2x$. 如果怕出错, 可以再求导回去看看是不是对的.
  2. $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$ 有系数$\frac{1}{a}$, 而$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} + C$ 没有系数!!! 注意不要记混了!!!
  3. 当从根号中提出来$x$时, 注意讨论$x<0$的情况. 只需要对$x>0$的情况求完以后, 令$t = -x$再推一下即可.

一些技巧

突然出现很高次的幂$x^\alpha$: 换元$u = x^\alpha$

$$\int \frac{dx}{x(x^6+4)}$$

$$u = x^6$$ $$du = dx^6 = 6x^5dx \Rightarrow dx = \frac{du}{6x^5}$$ $$\therefore \int \frac{dx}{x(x^6+4)} = \frac{1}{6} \int \frac{du}{x^6(x^6+4)} = \frac{1}{6} \int \frac{du}{u(u+4)}$$

不同函数, 三角高次: 降幂

$$\int x\cos^2 xdx$$

$$\int x\cos^2 xdx = \frac{1}{2} \int x(\cos 2x + 1)dx$$

分母有$\sqrt{1+g^2(x)}$: 提出$g(x)\sqrt{\frac{1}{g^2(x)} + 1}$, 用$\frac{1}{g(x)}$凑微分

分母为高次三角函数和: 考虑同时除以$\cos x$, 得到$\tan x$和$\sec^2 x$, 利用$\int \sec^2 x = \tan x$进行凑微分

分母为高次三角函数积: 将分子用$1 = \sin^2 x + \cos^2 x$化成和分母次数接近, 然后直接拆成关于三角函数的有理分式之和; 或者分子分母同时乘某个三角函数, 然后分子凑微分

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个人简介

我叫 Wings, 来自江西上饶, 目前人在西安, 是西电的一名学生.

常以 WingsWingsZengWingsWings的ID在各大小网站上游走, 一般来说, Wings不是我 😔, WingsZeng 一定是我 😊.

热爱算法, 喜欢钻研各种计算机技术.

业余爱好广泛, 只要不是文化课基本上都感兴趣😏.

开发/项目经历

  1. Android游戏 小墨滴的复仇 (弃坑)
  2. Android游戏 Circle Run (弃坑)
  3. Windows游戏 Snague (可能弃坑了吧)
  4. Python后端 Fathy' (可能弃坑了吧)

to be continued

教育经历

时间 学历 学校
2008-2014 小学 上饶市第十二小学
2014-2017 初中 上饶市第四中学
2017-2020 高中 上饶市第一中学
2020-2024 本科 西安电子科技大学
to be continued

比赛/竞赛经历

太久远太小的记不到了…

  1. 2017 国学竞赛初赛江西 没有分数或排名 二乙
  2. 2018 NOIP提高 258 省二
  3. 2019 CSP-S江西专场 145 省二
  4. 2019 数学竞赛初赛 70 没排名 (复赛打铁qaq)
  5. 2020 Gitee|Python贪吃蛇魔改大赛 可能是第四? 二等奖
  6. 2020 西电ACM训练基地熊猫杯 第四 银牌
  7. 2020 西安三校微软学生俱乐部Hackathon 和二等奖最后一名差0.5分 三等奖
  8. 2020 西电星火杯 三等奖
  9. 2020 西电ACM新生赛 第九 金牌
  10. 2020 ICPC 亚洲区域赛 济南站 132名 铜牌
  11. 2020-2021 第二届全国大学生算法设计与编程挑战赛(冬季赛) 924名 铜牌 (别骂了别骂了)
  12. 2020 ICPC 亚洲区域赛 昆明站 打星
  13. 2020 ICPC Asia-East Continent Final 签完到溜 打铁
  14. 西电"智能星"第一届自动驾驶小车比赛 第五 优胜奖|极速奖 本来可以冠军的别骂了别骂了

to be continued

爱好

技术

  • 算法
  • 独立游戏开发

游戏

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  • Black Survival
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  • Need for speed

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