空间解析几何笔记 @ Wings            分类 高数
发布于 星期二, 四月 20 日, 2021 年
更新于 星期二, 七月 20 日, 2021 年

简单记录, 复习用

平面

点法式

$M_0(x_0, y_0, z_0), \vec n = (A, B, C)$

平面上任意一点$M(x, y, z)$, 有$\overrightarrow{MM_0} \perp \vec n$, 所以

$$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$

一般式

从点法式很容易看出就是一个关于$x, y, z$的一次方程:

$$Ax + By + Cz + D = 0$$

特殊方程性质

  1. $D = 0$, 过原点
  2. $A(B, C) = 0$, 平行于$x(y, z)$轴
  3. $A = B = 0$, 平行于$xOy$

一般式$\to$点法式

取任意一点$(x_0, y_0, z_0)$满足$Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0$, 然后这个等式和一般式相减.

截距式

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$$

直线

对称式和参数方程

$M_0(x_0, y_0, z_0), \vec s = (m, n, p)$

平面上任意一点$M(x, y, z)$, 有$\overrightarrow{MM_0} \parallel \vec n$, 所以

$$\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$$

令上述等式等于$t$, 得到参数方程:

$$\begin{cases} x = x_0 + mt \newline y = y_0 + nt \newline z = z_0 + pt \end{cases}$$

一般方程

两平面相交为一直线

$$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \newline A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}$$

对称式$\to$一般式

取对称式的第一第二, 第一第三分别化简, 得到的两个等式, 联立就是一般式.

一般式$\to$对称式

找出直线上一点$(x_0, y_0, z_0)$, 可令$x_0 = 1$, 解得$y_0, z_0$.

对于两平面的法向量叉乘得到直线方向向量.

曲面

旋转曲面

二维平面上的曲线$C:f(y, z) = 0$绕$z$轴旋转得到.

曲面$\Sigma:g(x, y, z) = f(\pm\sqrt{x^2 + y^2}, z) = 0$

绕谁($z$)转谁不变, 另一个($y$)变成$\pm\sqrt{x^2 + y^2}$

柱面

一根直线沿空间中一条曲线运动形成的曲面

只含两个变量的方程是特殊的柱面$\Sigma: g(x, y, z) = f(x, y) = 0$

不含谁母线平行谁

含有三个变量的方程也可能是柱面

二次曲面

TODO

法向量和切平面

曲面方程$\Sigma:F(x, y, z) = 0$, $\Sigma$上一点$M(x_0, y_0, z_0)$. 法向量$\vec n = (F_x, F_y, F_z)\mid_{(x_0, y_0, z_0)}$

取一条过$M$点且在$\Sigma$上的曲线$\Gamma: \begin{cases} x = \phi(t)\newline y = \psi(t)\newline z = \omega(t) \end{cases}$, 在该点的切向量

$$\vec s = (\phi'(t_0), \psi'(t_0), \omega'(t_0))$$

又因为$\Gamma \subset \Sigma$, 有 $F(\phi(t), \psi(t), \omega(t)) \equiv 0$, 对两边求全导, 有

$$F_x \phi'(t) + F_y \psi'(t) + F_z \omega'(t) = 0$$

又因为曲线$\Gamma$是任取的, 所以可以取遍每个"方向", 这样所有的切向量组成了一个切平面, 而上述等式表示$(F_x, F_y, F_z)$切向量垂直, 也即于切平面垂直, 所以点$M$处的法向量为$\vec n = (F_x, F_y, F_z)\mid_{(x_0, y_0, z_0)}$

确实很难直观理解

曲线

一般方程

两曲面的交线

$$\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \newline G(x, y, z) = 0 \end{cases}$$

参数方程

$$\begin{cases} x = \phi(t)\newline y = \psi(t)\newline z = \omega(t) \end{cases}$$

方向向量和法平面

参数方程形式, $\vec s = (\phi'(t_0), \psi'(t_0), \omega'(t_0))$

$\begin{cases}y = \psi(x)\newline z = \omega(x)\end{cases}$形式, 以$x$为参数, 化为 $\begin{cases} x = x\newline y = \psi(x)\newline z = \omega(x) \end{cases}$, 故 $\vec s = (1, \psi'(x), \omega'(x))$

一般形式, 考虑以$x$为参数, 那么由方程组 $\begin{cases}F(x, y, z) = 0 \newline G(x, y, z) = 0\end{cases}$ 确定了两个隐函数$y=\psi(x), z = \omega(x)$, 代入得

$$\begin{cases}F(x, \psi(x), \omega(x)) \equiv 0 \newline G(x, \psi(x), \omega(x)) \equiv 0\end{cases}$$

隐函数方程组求导可得$\psi'(x), \omega'(x)$, 进而 $\vec s = (1, \psi'(x), \omega'(x))$

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个人简介

我叫 Wings, 来自江西上饶, 目前人在西安, 是西电的一名学生.

常以 WingsWingsZengWingsWings的ID在各大小网站上游走, 一般来说, Wings不是我 😔, WingsZeng 一定是我 😊.

热爱算法, 喜欢钻研各种计算机技术.

业余爱好广泛, 只要不是文化课基本上都感兴趣😏.

开发/项目经历

  1. Android游戏 小墨滴的复仇 (弃坑)
  2. Android游戏 Circle Run (弃坑)
  3. Windows游戏 Snague (可能弃坑了吧)
  4. Python后端 Fathy' (可能弃坑了吧)

to be continued

教育经历

时间 学历 学校
2008-2014 小学 上饶市第十二小学
2014-2017 初中 上饶市第四中学
2017-2020 高中 上饶市第一中学
2020-2024 本科 西安电子科技大学
to be continued

比赛/竞赛经历

太久远太小的记不到了…

  1. 2017 国学竞赛初赛江西 没有分数或排名 二乙
  2. 2018 NOIP提高 258 省二
  3. 2019 CSP-S江西专场 145 省二
  4. 2019 数学竞赛初赛 70 没排名 (复赛打铁qaq)
  5. 2020 Gitee|Python贪吃蛇魔改大赛 可能是第四? 二等奖
  6. 2020 西电ACM训练基地熊猫杯 第四 银牌
  7. 2020 西安三校微软学生俱乐部Hackathon 和二等奖最后一名差0.5分 三等奖
  8. 2020 西电星火杯 三等奖
  9. 2020 西电ACM新生赛 第九 金牌
  10. 2020 ICPC 亚洲区域赛 济南站 132名 铜牌
  11. 2020-2021 第二届全国大学生算法设计与编程挑战赛(冬季赛) 924名 铜牌 (别骂了别骂了)
  12. 2020 ICPC 亚洲区域赛 昆明站 打星
  13. 2020 ICPC Asia-East Continent Final 签完到溜 打铁
  14. 西电"智能星"第一届自动驾驶小车比赛 第五 优胜奖|极速奖 本来可以冠军的别骂了别骂了
  15. 2021团体程序设计天体赛(CCCC) 个人二等奖
  16. 2021 西电 miniL CTF 优胜奖
  17. 2021 西电ACM校赛 第9名 金牌
  18. 2021 西电数模校赛 二等奖
  19. 2021 第15届IEEE 第48名
  20. 2021 CCPC 桂林站 打星

to be continued

爱好

技术

  • 算法
  • 独立游戏开发

游戏

  • Minecraft
  • Black Survival
  • I Wanna
  • Celeste
  • Life is Strange
  • Need for speed

运动

  • 篮球
  • 桌球
  • 乒乓球
  • 羽毛球
  • 慢跑

音乐

  • 吉他
  • 词曲
  • 流行

玩具

  • 魔方
    • 三阶速拧
    • 三阶盲拧
    • 高阶
  • yoyo球

追星

  • VAE
  • Benedict Cumberbatch