多元微分笔记 @ Wings            分类 高数
发布于 星期二, 三月 23 日, 2021 年
更新于 星期二, 七月 20 日, 2021 年

简单记录, 备忘查找. 考前预习, 考后忘光.

多元函数

极限

以二元函数为例

二元函数的极限成为二重极限

极限存在

任何方式趋近点$(x_0, y_0)$时, 都有极限且极限都为$A$.

可以构造不同的趋近方式, 如果得到不同的极限, 则说明极限不存在.

eg:

$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & x^2 + y^2 \ne 0, \newline 0, & x^2 + y^2 = 0 \end{cases}$$ $$\lim_{(x, y) \to (0, 0)}f(x, y)\text{不存在}$$ $$\because \lim_{(x, y) \to (0, 0), y = kx} \frac{xy}{x^2 + y^2} = \lim_{x\to0}\frac{kx^2}{x^2 + k^2x^2} = \frac{k}{1 + k^2}$$

当 $k$ 取值不同时, 等式右边的值也不同, 所以不存在极限.

连续性

和一元函数一样, 极限存在且极限值等于函数值, 则连续;

如果函数连续, 极限值等于函数值.

多元初等函数在定义域内连续, 且满足有界性, 最大最小值定理, 介值定理, 一直连续性(忘了是啥了).

偏导

对谁求偏导, 就把剩下的看成常量.

点$M_0$处对$x$的偏导几何意义是用平面 $x = x_0$ 截得的曲线对 $x$ 轴的斜率.

高阶偏导

偏导的偏导

混合偏导在偏导连续的条件下与求导次序无关.

初等函数的偏导是初等函数, 初等函数是连续函数, 所以初等函数高阶偏导与求导次序无关.

全微分

$dz = \sum \frac{\partial z}{\partial x_i} dx_i$

可微条件

充分条件: 所有偏导存在且连续

必要条件: 可微偏导必存在

当偏导存在时, 不一定可微, 还要看 $\Delta z$ (即$f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)$) 与 $\sum \frac{\partial z}{\partial x_i} dx_i$的差是不是$\rho$(即$\sqrt(\sum {x_i}^2)$)的高阶无穷小. 是则可微, 不是则不可微.

故判断一个多元函数是否可微的步骤是:

  1. 求偏导 $\begin{cases}\text{不存在} &\to \text{不可微} \newline \text{存在} &\to (2) \end{cases}$
  2. 判断偏导连续 $\begin{cases}\text{连续} &\to \text{可微} \newline \text{不连续} &\to (3) \end{cases}$
  3. 计算 $\lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta z - (f_x \Delta x + f_y \Delta y)}{\rho} = \begin{cases}0 & \to \text{可微} \newline otherwise &\to \text{不可微}\end{cases}$

一些关系

偏导存在与函数连续

偏导存在 $\nrightarrow$ 函数连续

函数连续 $\to$ 偏导存在

可微与偏导存在/连续

可微 $\to$ 偏导存在

偏导存在 $\nrightarrow$ 可微

可微 $\nrightarrow$ 偏导连续

偏导连续 $\to$ 可微

不可微 $\nrightarrow$ 偏导不存在

偏导不存在 $\to$ 不可微

关于全微分和偏导的一些几何理解

偏导$\frac{\partial z}{\partial x}$表示从x轴"引"的一根曲线上x点处函数的变化率, 可以用"切直线"来理解.

微分$dz$是各个方向"引"的曲线上x点处函数的变化率(口胡, 可能是错的, 这么理解一下), 可以用"切平面"来理解.

那么

偏导存在 $\nrightarrow$ 可微

的原因就是偏导只保证了平行于坐标轴的切直线存在, 但是没有保证其他方向上的. 下图就是个例子:

图来自知乎@马同学回答怎么从几何上理解偏导数连续函数必可微?

偏导都存在, 但是这个点没有切平面, 不可微

偏导连续 $\to$ 可微

的直观理解如下:

由于偏导连续, 所以在很小的一块区域里可以看成偏导相等.

然后对于邻域中某个偏离两坐标轴的点, 他可以由要求的点经过平行于x轴和y轴"走"过来, 且大小不变, 于是这个点的值可以看成和要求的点的值相同. 每个点都可以这么搞一下, 搞出来不就是一个切平面了吗

留下昵称和邮箱, 可在第一时间获悉回复通知哦~

2021 FLAG

  • 找个妹子
  • 进计科
  • XCPC拿块金牌
  • 补全算法知识, 整全板子
  • 学会Web开发相关知识
  • 在服务器上搭建电子书库
  • 写个游戏并上线
  • 能弹一首曲子
  • 写首完整的曲子
  • 练习悠悠球
  • 三阶速拧20s

个人简介

我叫 Wings, 来自江西上饶, 目前人在西安, 是西电的一名学生.

常以 WingsWingsZengWingsWings的ID在各大小网站上游走, 一般来说, Wings不是我 😔, WingsZeng 一定是我 😊.

热爱算法, 喜欢钻研各种计算机技术.

业余爱好广泛, 只要不是文化课基本上都感兴趣😏.

开发/项目经历

  1. Android游戏 小墨滴的复仇 (弃坑)
  2. Android游戏 Circle Run (弃坑)
  3. Windows游戏 Snague (可能弃坑了吧)
  4. Python后端 Fathy' (可能弃坑了吧)

to be continued

教育经历

时间 学历 学校
2008-2014 小学 上饶市第十二小学
2014-2017 初中 上饶市第四中学
2017-2020 高中 上饶市第一中学
2020-2024 本科 西安电子科技大学
to be continued

比赛/竞赛经历

太久远太小的记不到了…

  1. 2017 国学竞赛初赛江西 没有分数或排名 二乙
  2. 2018 NOIP提高 258 省二
  3. 2019 CSP-S江西专场 145 省二
  4. 2019 数学竞赛初赛 70 没排名 (复赛打铁qaq)
  5. 2020 Gitee|Python贪吃蛇魔改大赛 可能是第四? 二等奖
  6. 2020 西电ACM训练基地熊猫杯 第四 银牌
  7. 2020 西安三校微软学生俱乐部Hackathon 和二等奖最后一名差0.5分 三等奖
  8. 2020 西电星火杯 三等奖
  9. 2020 西电ACM新生赛 第九 金牌
  10. 2020 ICPC 亚洲区域赛 济南站 132名 铜牌
  11. 2020-2021 第二届全国大学生算法设计与编程挑战赛(冬季赛) 924名 铜牌 (别骂了别骂了)
  12. 2020 ICPC 亚洲区域赛 昆明站 打星
  13. 2020 ICPC Asia-East Continent Final 签完到溜 打铁
  14. 西电"智能星"第一届自动驾驶小车比赛 第五 优胜奖|极速奖 本来可以冠军的别骂了别骂了

to be continued

爱好

技术

  • 算法
  • 独立游戏开发

游戏

  • Minecraft
  • Black Survival
  • I Wanna
  • Celeste
  • Life is Strange
  • Need for speed

运动

  • 篮球
  • 桌球
  • 乒乓球
  • 羽毛球
  • 慢跑

音乐

  • 吉他
  • 词曲
  • 流行

玩具

  • 魔方
    • 三阶速拧
    • 三阶盲拧
    • 高阶
  • yoyo球

追星

  • VAE
  • Benedict Cumberbatch