利用全微分运算解决偏导数问题 @ Wings            分类 高数
发布于 星期日, 四月 25 日, 2021 年
更新于 星期二, 七月 20 日, 2021 年

微分大法好

前置技能点

微分

$df(x) = f'(x)dx$

微分运算法则

  1. $d(u \pm v) = du \pm dv$
  2. $d(uv) = udv + vdu$

所以多元函数的微分可以用微分运算法则.

eg.

$f(x, y) = x + y + xy$

$df(x, y) = d(x + y + xy) = dx + dy + d(xy) = dx + dy + ydx + xdy$

全微分和偏导

$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$

二元以上函数也同理

其中, $dx$的系数就是$z$对$x$的偏导. 其他自变量同理.

问题

求偏导

复合函数

$z = f(\frac{x}{y}, \frac{y}{x})$, 求$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$

$$\begin{aligned} dz &= df(\frac{x}{y}, \frac{y}{x}) \newline &= f_1’d(\frac{x}{y}) + f_2’d(\frac{y}{x}) \newline &= f_1'(\frac{1}{y}dx - \frac{x}{y^2}dy) + f_2'(\frac{1}{x}dy - \frac{y}{x^2}dx) \newline &= (\frac{1}{y}f_1' - \frac{y}{x^2}f_2')dx + (\frac{1}{x}f_2' - \frac{x}{y^2}f_1')dy \end{aligned}$$

所以$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{y}f_1' - \frac{y}{x^2}f_2', \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x}f_2' - \frac{x}{y^2}f_1'$

隐函数

$x^2 + y^2 + z^2 = 4z$, 求$\frac{\partial ^2 z}{\partial x^2}$

两边微分, 得:

$$\begin{aligned} 2xdx + 2ydy + 2zdz = 4dz \newline \therefore dz = \frac{x}{2-z}dx + \frac{y}{2-z}dy \end{aligned}$$

$$\therefore \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2-z}$$

再两边微分, 得:

$$\begin{aligned} d(\frac{\partial z}{\partial x}) &= \frac{1}{2-z}dx + \frac{x}{(2-z)^2}dz \newline &= \frac{1}{2-z}dx + \frac{x}{(2-z)^2}(\frac{x}{2-z}dx + \frac{y}{2-z}dy) \newline &= \frac{(2-z)^2 + x^2}{(2-z)^3}dx + \frac{(2-z)^2 + xy}{(2-z)^3}dy \end{aligned}$$

所以$\frac{\partial ^2 z}{\partial x^2} = \frac{(2-z)^2 + x^2}{(2-z)^3}$

同时还能得到$\frac{\partial ^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{(2-z)^2 + xy}{(2-z)^3}$

隐函数方程组

$\begin{cases} x = u + v \newline y = u^2 + v^2 \newline z = u^3 + v^3 \end{cases}$ 求 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial u}{\partial y}$

五个变量三个方程, 所以有两个自变量, 根据题意是$x, y$, 把$u, v, z$看成关于$x, y$的函数$u(x, y), v(x, y), z(x, y)$. 于是只要求出$du = \alpha dx + \beta dy$即可

两边微分:

$$\begin{cases} dx = du + dv \newline dy = 2udu + 2vdv \newline dz = 3u^2du + 3v^2dv \end{cases}$$

由于$dv, dz$我们不要, 所以解个方程组把他们干掉就行了.

随便来咯, 可以用初中的方法解方程, 得到$du = \frac{v}{v-u}dx + \frac{1}{2(u-v)}dy$.

也可以用线代的方法:

$$\begin{cases} du + dv + 0 = dx \newline 2udu + 2vdv + 0 = dy \newline 3u^2du + 3v^2dv - dz = 0 \end{cases}$$

$$du = \frac {\left| \begin{array}{ccc} dx & 1 & 0 \newline dy & 2v & 0 \newline 0 & 3v^2 & -1 \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \newline 2u & 2v & 0 \newline 3u^2 & 3v^2 & -1 \end{array} \right|} = \frac{v}{v-u}dx + \frac{1}{2(u-v)}dy$$

同时也可以很方便地求

$$dv = \frac {\left| \begin{array}{ccc} 1 & dx & 0 \newline 2u & dy & 0 \newline 3u^2 & 0 & -1 \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \newline 2u & 2v & 0 \newline 3u^2 & 3v^2 & -1 \end{array} \right|}$$

或者

$$dz = \frac {\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & dx \newline 2u & 2v & dy \newline 3u^2 & 3v^2 & 0 \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \newline 2u & 2v & 0 \newline 3u^2 & 3v^2 & -1 \end{array} \right|}$$

从而得到 $\frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$

求切平面

求曲面 $xyz + \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} - \sqrt 2 = 0$ 在点(1, 0, -1)处的切平面方程

事实上, 曲面方程可以看成函数$F(x, y, z) = 0$

两边微分, 得

$$dF = xydz + yzdx + zxdy + \frac{xdx + ydy + zdz}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$$

又知道曲面在某点的法向量是$(F_x, F_y, F_z)$, 第一个分量$F_x$就是上述方程中$dx$的系数, $F_y, F_z$同理.

带入点$(1, 0, -1)$, 得

$$dF = \frac{1}{\sqrt 2} (dx - dz) - dy$$

所以法向量$\vec n = (\frac{1}{\sqrt 2}, -1, -\frac{1}{\sqrt 2})$, 而平面方程只需要将$dx$换成$(x - x_0)$, $dy, dz$同理, 然后令$dF = 0$, 即:

$$\frac{1}{\sqrt 2} ((x - 1) - (z + 1)) - y = 0$$

为什么呢? 如果不看成$F(x, y, z) = 0$而是直接对原来的方程两边微分, 就可得到

$$\frac{1}{\sqrt 2} (dx - dz) - dy = 0$$

考虑$dx$的意义, $x = x_0 + dx$, 不就是$dx = x - x_0$吗, 只不过这个$x$距离$x_0$很近, 所以近似成"直线". 而我们进行替换, 则就是"切线"了. 对$dy, dz$也同样处理, 不就是得到"切面"了吗?

或者还可以这样理解, 上述方程可以看成 $(\frac{1}{\sqrt 2}, -1, -\frac{1}{\sqrt 2}) \cdot (dx, dy, dz) = 0$, 而平面就是$(\frac{1}{\sqrt 2}, -1, -\frac{1}{\sqrt 2}) \cdot (x - x_0, y - y_0, z - z_0) = 0$

留下昵称和邮箱, 可在第一时间获悉回复通知哦~

2021 FLAG

  • 找个妹子
  • 进计科
  • XCPC拿块金牌
  • 补全算法知识, 整全板子
  • 学会Web开发相关知识
  • 在服务器上搭建电子书库
  • 写个游戏并上线
  • 能弹一首曲子
  • 写首完整的曲子
  • 练习悠悠球
  • 三阶速拧20s

个人简介

我叫 Wings, 来自江西上饶, 目前人在西安, 是西电的一名学生.

常以 WingsWingsZengWingsWings的ID在各大小网站上游走, 一般来说, Wings不是我 😔, WingsZeng 一定是我 😊.

热爱算法, 喜欢钻研各种计算机技术.

业余爱好广泛, 只要不是文化课基本上都感兴趣😏.

开发/项目经历

  1. Android游戏 小墨滴的复仇 (弃坑)
  2. Android游戏 Circle Run (弃坑)
  3. Windows游戏 Snague (可能弃坑了吧)
  4. Python后端 Fathy' (可能弃坑了吧)

to be continued

教育经历

时间 学历 学校
2008-2014 小学 上饶市第十二小学
2014-2017 初中 上饶市第四中学
2017-2020 高中 上饶市第一中学
2020-2024 本科 西安电子科技大学
to be continued

比赛/竞赛经历

太久远太小的记不到了…

  1. 2017 国学竞赛初赛江西 没有分数或排名 二乙
  2. 2018 NOIP提高 258 省二
  3. 2019 CSP-S江西专场 145 省二
  4. 2019 数学竞赛初赛 70 没排名 (复赛打铁qaq)
  5. 2020 Gitee|Python贪吃蛇魔改大赛 可能是第四? 二等奖
  6. 2020 西电ACM训练基地熊猫杯 第四 银牌
  7. 2020 西安三校微软学生俱乐部Hackathon 和二等奖最后一名差0.5分 三等奖
  8. 2020 西电星火杯 三等奖
  9. 2020 西电ACM新生赛 第九 金牌
  10. 2020 ICPC 亚洲区域赛 济南站 132名 铜牌
  11. 2020-2021 第二届全国大学生算法设计与编程挑战赛(冬季赛) 924名 铜牌 (别骂了别骂了)
  12. 2020 ICPC 亚洲区域赛 昆明站 打星
  13. 2020 ICPC Asia-East Continent Final 签完到溜 打铁
  14. 西电"智能星"第一届自动驾驶小车比赛 第五 优胜奖|极速奖 本来可以冠军的别骂了别骂了

to be continued

爱好

技术

  • 算法
  • 独立游戏开发

游戏

  • Minecraft
  • Black Survival
  • I Wanna
  • Celeste
  • Life is Strange
  • Need for speed

运动

  • 篮球
  • 桌球
  • 乒乓球
  • 羽毛球
  • 慢跑

音乐

  • 吉他
  • 词曲
  • 流行

玩具

  • 魔方
    • 三阶速拧
    • 三阶盲拧
    • 高阶
  • yoyo球

追星

  • VAE
  • Benedict Cumberbatch