几种特殊的行列式计算 @ Wings            分类 线性代数
发布于 星期五, 六月 4 日, 2021 年
更新于 星期二, 七月 20 日, 2021 年

有手就行 我没有手

举例咕咕咕有空补上

性质

对换变号, 倍加不变, 行(列)可提公因式.

若化为上(下)三角, 则行列式的值为主对角线之积.

所以做法是变换成上(下)三角.

副对角三角

做法

以上三角为例

形如:

(形如失败, 好难排版啊qaq)

假想每一行只能和相邻的交换, 换成主对角的话相当于行逆序, 需要 $\frac{n(n-1)}{2}$ 次. 每一次交换都要变号, 所以

$$D_n = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \Pi a_{i,(n-i+1)}$$

举例

爪形

做法

形如

$$\left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{12} & \dots & a_{1n} \newline a_{21} & a_{22} & 0 & \dots & 0 \newline a_{31} & 0 & a_{33} & \dots & 0 \newline \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline a_{n1} & 0 & 0 & \dots & a_{nn} \newline \end{array} \right|$$

即, 除主对角线, 第一行, 第一列外, 其他元素均为$0$.

做如下变换: $c_1 -= \frac{a_{i1}}{a_{ii}} c_i, 2 \le i \le n$, 把第一列除了$a_{11}$外都变成$0$. 而$a_{11} -= \sum_{i=2}^n \frac{a_{i1}}{a_{ii}} a_{1i}$

不需要记忆式子, 碰到题目直接用这个方法变换就行.

举例

三对角型

做法

形如:

$$\left| \begin{array}{ccccc} a & b & & & \newline c & a & b & & \newline & c & a & \ddots & \newline & & \ddots & \ddots & b \newline & & & c & a \newline \end{array} \right|$$

即, 主对角相同, 主对角相邻两斜线各相同, 其他元素均为$0$

递推法, 按第一行展开, 有:

$$D_n = aD_{n-1} - b \left| \begin{array}{ccccc} c & b & & & \newline & a & b & & \newline & c & a & \ddots & \newline & & \ddots & \ddots & b \newline & & & c & a \newline \end{array} \right| = aD_{n-1} - bcD_{n-2}$$

特别地, 若$c = b$, 有$D_n = aD_{n-1} - b^2D_{n-2}$

举例

行(列)和相等

做法

以行和相等为例.

$c_1 = \sum c_i$, 得到相等的第一列, 然后 $r_i -= r_1$ 得到第一列只有第一个数, 其他数为$0$, 然后降解. 一般来说, 题目会"有规律地相等", 降解后会有很多一样的数字或$0$.

举例

列(行)近相同

做法

以列为例

形如:

$$\left| \begin{array}{ccccc} x_1 & a_2 & a_3 & \dots & a_n \newline a_1 & x_2 & a_3 & \dots & a_n \newline a_1 & a_2 & x_3 & \dots & a_n \newline \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline a_1 & a_2 & a_3 & \dots & x_n \newline \end{array} \right|$$

即, 各列除主对角位置相同.

化为爪型, $r_i -= r_1, 2 \le i \le n$

之后还可以对各列提公因式把第一列除第一个数变成$-1$, 把主对角线除第一个数变成$1$, 简化计算(不这样做也行, 结果相同, 其实也并不难算)

特别地, 当 $a_i = a$ 时, 也可以这样做, 或者可以用行(列)和相等.

举例

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2021 FLAG

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个人简介

我叫 Wings, 来自江西上饶, 目前人在西安, 是西电的一名学生.

常以 WingsWingsZengWingsWings的ID在各大小网站上游走, 一般来说, Wings不是我 😔, WingsZeng 一定是我 😊.

热爱算法, 喜欢钻研各种计算机技术.

业余爱好广泛, 只要不是文化课基本上都感兴趣😏.

开发/项目经历

  1. Android游戏 小墨滴的复仇 (弃坑)
  2. Android游戏 Circle Run (弃坑)
  3. Windows游戏 Snague (可能弃坑了吧)
  4. Python后端 Fathy' (可能弃坑了吧)

to be continued

教育经历

时间 学历 学校
2008-2014 小学 上饶市第十二小学
2014-2017 初中 上饶市第四中学
2017-2020 高中 上饶市第一中学
2020-2024 本科 西安电子科技大学
to be continued

比赛/竞赛经历

太久远太小的记不到了…

  1. 2017 国学竞赛初赛江西 没有分数或排名 二乙
  2. 2018 NOIP提高 258 省二
  3. 2019 CSP-S江西专场 145 省二
  4. 2019 数学竞赛初赛 70 没排名 (复赛打铁qaq)
  5. 2020 Gitee|Python贪吃蛇魔改大赛 可能是第四? 二等奖
  6. 2020 西电ACM训练基地熊猫杯 第四 银牌
  7. 2020 西安三校微软学生俱乐部Hackathon 和二等奖最后一名差0.5分 三等奖
  8. 2020 西电星火杯 三等奖
  9. 2020 西电ACM新生赛 第九 金牌
  10. 2020 ICPC 亚洲区域赛 济南站 132名 铜牌
  11. 2020-2021 第二届全国大学生算法设计与编程挑战赛(冬季赛) 924名 铜牌 (别骂了别骂了)
  12. 2020 ICPC 亚洲区域赛 昆明站 打星
  13. 2020 ICPC Asia-East Continent Final 签完到溜 打铁
  14. 西电"智能星"第一届自动驾驶小车比赛 第五 优胜奖|极速奖 本来可以冠军的别骂了别骂了
  15. 2021团体程序设计天体赛(CCCC) 个人二等奖
  16. 2021 西电 miniL CTF 优胜奖
  17. 2021 西电ACM校赛 第9名 金牌
  18. 2021 西电数模校赛 二等奖
  19. 2021 第15届IEEE 第48名
  20. 2021 CCPC 桂林站 打星

to be continued

爱好

技术

  • 算法
  • 独立游戏开发

游戏

  • Minecraft
  • Black Survival
  • I Wanna
  • Celeste
  • Life is Strange
  • Need for speed

运动

  • 篮球
  • 桌球
  • 乒乓球
  • 羽毛球
  • 慢跑

音乐

  • 吉他
  • 词曲
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玩具

  • 魔方
    • 三阶速拧
    • 三阶盲拧
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  • yoyo球

追星

  • VAE
  • Benedict Cumberbatch