一些最好记住的定积分公式

我觉得需要记忆的公式

1. 弧微分

$$ds = \sqrt{1 + y’^2}dx$$

2. 弧长

$$\int_a^b \sqrt{1 + y’^2}dx$$

3. 曲率

$$K = \frac{|y’’|}{(1 + y’^2)^{\frac{3}{2}}}$$

曲率的近似

$$K \approx |y’’| (|y’| « 1)$$

4. 曲率半径

$$\rho = \frac{1}{K} = \frac{(1 + y’^2)^{\frac{3}{2}}}{|y’’|}$$

5. 估值定理

$$|\int_a^b f(x)dx| \le \int_a^b |f(x)|dx$$

6. 反转折叠

$$\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a + b - x)dx$$

7. 周期性质

$$\int_a^{a+nT} f(x)dx = n\int_0^T f(x)dx$$

8. $xf(sinx)$

$$\int_0^\pi xf(\sin x)dx = \frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx$$

9. $\sin^n x$ & $\cos^n x$

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n dx$$ $$ = \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{n!!}, 2 \nmid n \\ \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}, 2 \mid n \end{cases}$$